一、什么是“基本公式”，什么是“对偶式”
逻辑代数中的基本公式，是指经过真值表验证、可以直接用于逻辑函数变换和化简的恒等式，例如：
A + 0 = A
A · 1 = A
A + A̅ = 1
A · A̅ = 0
A + AB = A
A(A + B) = A
这里的“恒等式”表示：无论变量 A、B 取 0 还是 1，等号左右两边的结果始终相同。
所谓对偶式，就是按照特定规则，把一个逻辑公式转换成另一个公式。
转换规则是：
+ 与 · 互换
0 与 1 互换
变量本身不变
变量上的取反不变
括号和运算次序不变
例如原公式是：
A + 0 = A
把 + 换成 ·，把 0 换成 1，得到对偶式：
A · 1 = A
再例如：
A + 1 = 1
它的对偶式是：
A · 0 = 0
因此，基本公式和对偶式之间的核心联系是：
如果一个逻辑代数恒等式成立，那么它的对偶式也一定成立。
这叫作逻辑代数的对偶原理。
二、对偶式不是“取反式”
这是初学时最容易混淆的地方。
假设有公式：
A + 0 = A
它的对偶式是：
A · 1 = A
而不是：
A̅ + 1 = A̅
因为求对偶式时，不需要把变量 A 变成 A̅。
再看一个例子：
A + A̅ = 1
求对偶式时：
+换成·1换成0- A 和 A̅ 保持原样
得到：
A · A̅ = 0
所以必须区分三个概念：
原公式：A + A̅ = 1
对偶式：A · A̅ = 0
对整个式子取反：¬(A + A̅) = ¬1
对偶变换和取反运算不是一回事。
三、常见基本公式及其对偶式
逻辑代数中的公式经常成对出现。
1. 常量公式
A + 0 = A
A · 1 = A
两者互为对偶式。
A + 1 = 1
A · 0 = 0
两者互为对偶式。
2. 幂等律
A + A = A
A · A = A
两者互为对偶式。
逻辑代数中：
1 + 1 = 1
这里的 + 是逻辑或，不是普通算术加法。
3. 互补律
A + A̅ = 1
A · A̅ = 0
两者互为对偶式。
4. 吸收律
A + AB = A
A(A + B) = A
两者互为对偶式。
验证第二个式子是第一个式子的对偶式：
原式：A + A·B = A
+ 换成 ·
· 换成 +
于是得到：
A · (A + B) = A
即：
A(A + B) = A
5. 分配律
A(B + C) = AB + AC
它的对偶式为：
A + BC = (A + B)(A + C)
第二个公式看起来不像普通代数中的分配律，但在逻辑代数中是成立的。
这也是逻辑代数和普通代数的重要区别。
四、求对偶式时应该怎样操作
例如求下面公式的对偶式：
A + B(C + 0) = A + BC
依次替换：
+ ↔ ·
0 ↔ 1
左边：
A + B(C + 0)
变为：
A · [B + (C · 1)]
右边：
A + BC
变为：
A · (B + C)
所以对偶式为：
A[B + C·1] = A(B + C)
由于：
C·1 = C
因此可以进一步写成：
A(B + C) = A(B + C)
求对偶式时，最好保留原来的括号结构，然后逐个替换运算符。这样不容易改变原公式的运算层次。
五、德摩根定律是什么意思
德摩根定律，也常写成摩根定律，是逻辑代数中处理“整体取反”的核心公式。
它有两个基本形式：
(A·B)̅ = A̅ + B̅
(A + B)̅ = A̅·B̅
用语言表达就是：
“与”的整体取反，等于各变量分别取反后再“或”。
“或”的整体取反，等于各变量分别取反后再“与”。
可以记成一句话：
去掉整体横线，运算符号互换，每个变量分别取反。
也就是：
与变或，或变与；
每个变量都取反。
六、为什么 (AB)̅ = A̅ + B̅
先从语言含义理解。
AB 表示：
A 与 B 同时成立
所以：
(AB)̅
表示：
“A 与 B 同时成立”这件事不成立
A 和 B 不能同时成立，意味着：
A 不成立，或者 B 不成立
因此：
(AB)̅ = A̅ + B̅
通过真值表也能验证：
| A | B | AB | (AB)̅ | A̅ | B̅ | A̅+B̅ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
可以看到，(AB)̅ 与 A̅+B̅ 的每一行输出都相同，所以两者等价。
七、为什么 (A+B)̅ = A̅B̅
A+B 表示：
A 或 B 至少有一个成立
所以：
(A+B)̅
表示：
“A 或 B 至少一个成立”这件事不成立
要使“至少一个成立”不成立，只能是：
A 不成立，并且 B 也不成立
因此：
(A+B)̅ = A̅B̅
注意这里不是“A 不成立或者 B 不成立”，而是两者都必须不成立。
例如：
A=0，B=1
此时：
A+B=1
(A+B)̅=0
但：
A̅+B̅=1+0=1
所以：
(A+B)̅ ≠ A̅+B̅
正确结果必须是：
(A+B)̅=A̅B̅
八、德摩根定律和对偶原理有什么联系
德摩根定律的两个公式互为对偶形式：
(AB)̅ = A̅ + B̅
对应：
(A+B)̅ = A̅B̅
从第一个公式求对偶式：
·变成++变成·- A、B 以及它们的反变量保持不变
于是得到第二个公式。
因此，德摩根定律本身就是一对具有对偶关系的公式。
更深一层地说，对一个复杂逻辑式整体取反时，其效果非常接近：
- 把“与”和“或”互换；
- 把各个变量取反；
- 把常量 0 和 1 互换。
例如：
F=A+BC
则：
F̅=(A+BC)̅
先对最外层使用德摩根定律：
F̅=A̅·(BC)̅
再对 BC 使用德摩根定律：
(BC)̅=B̅+C̅
所以：
F̅=A̅(B̅+C̅)
不能直接写成：
F̅=A̅+B̅C̅
因为整体取反时，每一级“与、或”都要互换。
九、公式中的“点”是什么意思
逻辑代数中的点：
A·B
表示逻辑与运算，也叫逻辑乘。
因此：
A·B
AB
A∧B
在多数数字逻辑教材中都表示同一个意思：
A 与 B
通常点可以省略：
A·B = AB
例如：
A·B·C = ABC
其含义是：A、B、C 全部为 1 时，结果才为 1。
真值表如下：
| A | B | A·B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
这和普通乘法在 0、1 范围内的结果恰好相同：
0×0=0
0×1=0
1×0=0
1×1=1
所以逻辑与被称为“逻辑乘”。
但是不能因此把逻辑代数完全当作普通代数，因为逻辑变量只能取 0、1，而且逻辑加法有：
1+1=1
而普通算术中：
1+1=2
十、点、加号和横线分别表示什么
逻辑代数中最基础的三个符号是：
| 写法 | 名称 | 逻辑含义 | 输出为 1 的条件 |
|---|---|---|---|
A·B 或 AB | 与、逻辑乘 | A 并且 B | A、B 全为 1 |
A+B | 或、逻辑加 | A 或者 B | 至少一个为 1 |
A̅ | 非、逻辑取反 | 不是 A | A=0 |
例如：
F=A̅B+C
按照逻辑运算优先级，应理解为：
F=(A̅·B)+C
运算顺序是：
- 先求 A̅；
- 再计算 A̅·B；
- 最后与 C 做或运算。
逻辑代数中的常见运算优先级为：
非 > 与 > 或
也就是：
取反最优先，点乘其次，加法最后
十一、横线的范围必须看清
德摩根定律题目中，最容易出错的不是公式本身，而是没有看清横线覆盖了哪些内容。
例如：
A̅B
表示只有 A 取反：
A̅·B
而：
(AB)̅
表示整个 AB 取反：
不是“A 与 B”
根据德摩根定律：
(AB)̅=A̅+B̅
两者完全不同。
再例如：
A+B̅
表示只有 B 取反。
而：
(A+B)̅
表示 A+B 整体取反：
(A+B)̅=A̅B̅
做题时可以主动给横线覆盖的部分加括号，避免看错：
长横线覆盖 A+B
就先改写为：
¬(A+B)
再使用德摩根定律。
十二、复杂表达式怎样使用德摩根定律
例如：
F=(A+BC)̅
第一步，横线覆盖整个 A+BC，所以最外层是“或”的整体取反：
F=A̅·(BC)̅
第二步，BC 是“与”的整体取反：
(BC)̅=B̅+C̅
因此：
F=A̅(B̅+C̅)
再例如：
F=[A(B+C)]̅
最外层是与：
F=A̅+(B+C)̅
括号内部的或取反：
(B+C)̅=B̅C̅
所以：
F=A̅+B̅C̅
可以把这种过程理解为“从外向内逐层拆横线”。
十三、考研做题时最实用的记忆方式
对偶式记忆为：
+ ↔ ·
0 ↔ 1
变量和反变量不变
德摩根定律记忆为：
去横线，换符号，变量分别取反
点号记忆为：
A·B = AB = A 与 B
其中最容易混淆的是：
求对偶式：变量不取反
使用德摩根定律：变量要取反
例如：
A+B
它的对偶式是：
AB
而它的反函数是：
(A+B)̅=A̅B̅
所以：
对偶：只交换运算结构
取反：交换运算结构，同时变量取反
这是对偶原理和德摩根定律之间最关键的区别与联系。
