本题给出的联合概率密度是：
f(x,y) = 12y², 0 ≤ y ≤ x ≤ 1
= 0, 其他
要求：
E(X), E(Y), E(XY), E(X² + Y²)
这道题的关键不在于 12y² 里面有没有 x，而在于它的取值区域里有 x：
0 ≤ y ≤ x ≤ 1
也就是说，虽然密度函数表达式本身不含 x，但 x 通过积分区域参与了计算。考研概率论里这类题很常见：联合密度不仅看公式，还必须看区域。
一、先看积分区域
条件：
0 ≤ y ≤ x ≤ 1
表示在平面上是一个三角形区域：
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ x
也可以改写成：
0 ≤ y ≤ 1
y ≤ x ≤ 1
这两种写法等价，只是积分顺序不同。
这里一定要注意：f(x,y)=12y² 不含 x，并不代表 X 不重要，也不代表可以直接把 x 消掉。因为 x 决定了 y 的上限，或者说区域边界里含有 x。
二、先求边缘密度
1. 求 X 的边缘密度 fX(x)
固定 x，根据区域 0 ≤ y ≤ x ≤ 1，有：
0 ≤ y ≤ x
所以：
f_X(x) = ∫₀ˣ 12y² dy
= 12 · y³/3 |₀ˣ
= 4x³
因此：
f_X(x) = 4x³, 0 ≤ x ≤ 1
于是：
E(X) = ∫₀¹ x f_X(x) dx
= ∫₀¹ x · 4x³ dx
= ∫₀¹ 4x⁴ dx
= 4/5
所以：
E(X) = 4/5
这里就可以看出，虽然原来的密度 12y² 不含 x，但是积分上限是 x，所以积分之后就出现了 x。
2. 求 Y 的边缘密度 fY(y)
固定 y，由区域：
0 ≤ y ≤ x ≤ 1
得到：
y ≤ x ≤ 1
所以：
f_Y(y) = ∫ᵧ¹ 12y² dx
= 12y² · (1 - y)
因此：
f_Y(y) = 12y²(1-y), 0 ≤ y ≤ 1
于是：
E(Y) = ∫₀¹ y f_Y(y) dy
= ∫₀¹ y · 12y²(1-y) dy
= ∫₀¹ 12y³(1-y) dy
= 12∫₀¹ (y³ - y⁴) dy
= 12(1/4 - 1/5)
= 3/5
所以：
E(Y) = 3/5
三、求 E(XY)
对于二元随机变量，直接用公式：
E[g(X,Y)] = ∬ g(x,y) f(x,y) dxdy
这里取：
g(X,Y) = XY
所以：
E(XY) = ∬ xy · 12y² dxdy
在区域 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 上积分。按 x 外层、y 内层：
E(XY) = ∫₀¹ ∫₀ˣ xy · 12y² dy dx
= ∫₀¹ ∫₀ˣ 12xy³ dy dx
因为内层对 y 积分，x 暂时当常数：
= ∫₀¹ 12x · y⁴/4 |₀ˣ dx
= ∫₀¹ 3x · x⁴ dx
= ∫₀¹ 3x⁵ dx
= 3/6
= 1/2
所以：
E(XY) = 1/2
四、求 E(X² + Y²)
利用期望的线性性质：
E(X² + Y²) = E(X²) + E(Y²)
先求 E(X²)：
E(X²) = ∫₀¹ x² f_X(x) dx
= ∫₀¹ x² · 4x³ dx
= ∫₀¹ 4x⁵ dx
= 4/6
= 2/3
再求 E(Y²)：
E(Y²) = ∫₀¹ y² f_Y(y) dy
= ∫₀¹ y² · 12y²(1-y) dy
= ∫₀¹ 12y⁴(1-y) dy
= 12∫₀¹ (y⁴ - y⁵) dy
= 12(1/5 - 1/6)
= 2/5
因此：
E(X² + Y²) = 2/3 + 2/5
= 10/15 + 6/15
= 16/15
所以：
E(X² + Y²) = 16/15
五、最终答案
E(X) = 4/5
E(Y) = 3/5
E(XY) = 1/2
E(X² + Y²) = 16/15
六、重点解释：密度函数里没有 x，为什么还能算出关于 x 的结果？
这是本题最容易误解的地方。
联合密度由两部分共同决定：
1. 密度表达式：f(x,y) = 12y²
2. 非零区域：0 ≤ y ≤ x ≤ 1
虽然 12y² 本身不含 x，但是它只在三角形区域内有效。这个区域的边界含有 x，所以积分时 x 会通过积分上下限进入结果。
比如求 f_X(x) 时：
f_X(x) = ∫ 12y² dy
如果不看区域，根本不知道 y 从哪里积到哪里。由 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 可知：
0 ≤ y ≤ x
所以：
f_X(x) = ∫₀ˣ 12y² dy = 4x³
这里的 x 就是从积分上限来的。
因此不能说“密度函数里没有 x，所以 x 被消掉”。更准确地说：
x 没有出现在密度表达式里，但出现在积分区域里；
边缘密度或期望计算时，x 会通过积分上下限体现出来。
考研中遇到二元密度题，第一步永远不是盯着公式看，而是先把非零区域整理清楚。区域决定积分限，积分限决定最后结果。
本题答案是：
E(Y) = 0
这道题考查的是“行列式展开 + 随机变量独立性 + 数学期望的线性性”。
题目给出随机变量 Xᵢⱼ 独立同分布，并且：
E(Xᵢⱼ) = 2
定义随机变量 Y 为一个 n 阶行列式：
Y =
| X₁₁ X₁₂ ... X₁ₙ |
| X₂₁ X₂₂ ... X₂ₙ |
| ... ... ... ... |
| Xₙ₁ Xₙ₂ ... Xₙₙ |
要求 E(Y)。
先看最小情形 n = 2，这有助于理解本题本质。
此时：
Y = | X₁₁ X₁₂ |
| X₂₁ X₂₂ |
= X₁₁X₂₂ - X₁₂X₂₁
所以：
E(Y) = E(X₁₁X₂₂ - X₁₂X₂₁)
= E(X₁₁X₂₂) - E(X₁₂X₂₁)
因为题目说所有 Xᵢⱼ 相互独立，所以：
E(X₁₁X₂₂) = E(X₁₁)E(X₂₂) = 2 × 2 = 4
同理：
E(X₁₂X₂₁) = E(X₁₂)E(X₂₁) = 2 × 2 = 4
因此：
E(Y) = 4 - 4 = 0
这说明本题不是因为每个随机变量的期望为 0，而是因为行列式展开后正负项会抵消。
一般的 n 阶行列式按照排列展开：
Y = Σ sgn(σ) X₁σ(1) X₂σ(2) ... Xₙσ(n)
这里 σ 表示对 1,2,...,n 的一个排列，sgn(σ) 表示这个排列对应项的正负号。
对两边取期望：
E(Y) = E[Σ sgn(σ) X₁σ(1) X₂σ(2) ... Xₙσ(n)]
利用数学期望的线性性，可以把期望放进求和里：
E(Y) = Σ sgn(σ) E[X₁σ(1) X₂σ(2) ... Xₙσ(n)]
由于所有 Xᵢⱼ 相互独立，所以每一项乘积的期望可以拆成期望的乘积：
E[X₁σ(1) X₂σ(2) ... Xₙσ(n)]
= E[X₁σ(1)] E[X₂σ(2)] ... E[Xₙσ(n)]
= 2 × 2 × ... × 2
= 2ⁿ
因此：
E(Y) = Σ sgn(σ) · 2ⁿ
= 2ⁿ Σ sgn(σ)
关键就变成了：
Σ sgn(σ) = ?
当 n ≥ 2 时，所有排列中正排列和负排列数量相等，都是 n!/2 个，所以：
Σ sgn(σ) = 正排列个数 - 负排列个数
= n!/2 - n!/2
= 0
所以：
E(Y) = 2ⁿ × 0 = 0
这道题还有一个更快的理解方式。
因为行列式是按乘积展开的，而各个元素相互独立，所以可以理解为：
E(Y) = | E(X₁₁) E(X₁₂) ... E(X₁ₙ) |
| E(X₂₁) E(X₂₂) ... E(X₂ₙ) |
| ... ... ... ... |
| E(Xₙ₁) E(Xₙ₂) ... E(Xₙₙ) |
而每个 E(Xᵢⱼ) 都等于 2，因此：
E(Y) =
| 2 2 ... 2 |
| 2 2 ... 2 |
| ... ... ... |
| 2 2 ... 2 |
这个行列式的每一行完全相同。只要 n ≥ 2，行列式中有两行相同，所以行列式为 0。
因此：
E(Y) = 0
这道题容易错在两个地方。
第一，误以为要求 E(Y) 必须知道 Xᵢⱼ 的具体分布。其实不用。因为行列式展开后，每一项都是若干个相互独立随机变量的乘积，只需要用到每个变量的期望。
第二，机械地写成：
E(det X) = det(E(X))
这个写法在本题中可以用，但不能无条件乱用。它之所以成立，是因为题目给了所有 Xᵢⱼ 相互独立，使得每一项乘积的期望可以拆开。如果没有独立性，一般不能直接这样写。
本题最稳的做法是记住：
行列式展开 → 对每项取期望 → 独立性拆乘积 → 正负排列抵消
最后答案：
E(Y) = 0
