这些编码和卡诺图先放在同一条主线里理解
这一部分本质上属于数字逻辑与计算机组成原理中的“信息编码”和“逻辑函数化简”。其中有权码、8421BCD码、余三码、格雷码、奇偶校验码都是“编码方式”；卡诺图化简不是编码，而是对逻辑函数进行化简的方法。
它们之间大致可以这样分类：
| 内容 | 本质 | 是否表示数值 | 是否用于检错 | 考研常见考法 |
|---|---|---|---|---|
| 有权码 | 每一位有固定权值的编码 | 是 | 否 | 判断编码值、判断是否为有权码 |
| 8421BCD码 | 最常见的有权BCD码 | 是，按十进制数字编码 | 否 | 十进制数和BCD码互转 |
| 余三码 | 8421BCD码加3形成的无权码 | 是，按十进制数字编码 | 否 | 与8421BCD码互转、自补特性 |
| 格雷码 | 相邻编码只差一位的无权码 | 可表示序号 | 否 | 二进制码与格雷码互转 |
| 奇偶校验码 | 增加校验位形成的检错码 | 主要不是表示数值 | 是 | 求校验位、判断能否检错纠错 |
| 卡诺图 | 逻辑函数化简工具 | 不是编码 | 否 | 根据真值表/最小项化简表达式 |
其中最容易混淆的是：8421BCD码不是普通二进制数；余三码不是有权码；格雷码不是按普通二进制加1变化；奇偶校验码只能检错，不能定位错误；卡诺图的行列排列使用格雷码顺序，而不是普通二进制顺序。
一、有权码：每一位都有固定“权值”的编码
有权码的核心特点是：编码中每一位都有固定的权值，一个编码所表示的数值等于各位代码值与对应权值的乘积之和。
例如 8421码中，四位的权值分别是：
8 4 2 1
如果某一位为1，就取该位权值；如果为0，就不取该位权值。
比如：
0101
在8421码中表示：
0×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 5
所以 0101 表示十进制数字5。
注意，这里的“有权”不是指“重要”，而是指“每一位有固定权重”。常见有权码包括：
8421码
2421码
5421码
余3循环码中的某些变体
但考研中最常见的就是8421BCD码。
判断一个码是不是有权码，关键看是否能为每一位固定分配一个权值，并且任意一个合法编码都能通过“按位加权求和”的方式得到对应十进制数。
比如8421BCD码是有权码；余三码不是有权码；格雷码也不是有权码。
二、8421BCD码：用4位二进制编码表示1位十进制数
BCD码的全称是 Binary Coded Decimal，即“二进制编码的十进制数”。它不是把整个十进制数直接转换成二进制，而是把每一位十进制数字分别用4位二进制编码表示。
8421BCD码是最常见的BCD码，它用4位二进制码表示十进制数字0到9。
| 十进制数字 | 8421BCD码 |
|---|---|
| 0 | 0000 |
| 1 | 0001 |
| 2 | 0010 |
| 3 | 0011 |
| 4 | 0100 |
| 5 | 0101 |
| 6 | 0110 |
| 7 | 0111 |
| 8 | 1000 |
| 9 | 1001 |
因为4位二进制本来可以表示0到15，但是BCD码只需要表示十进制数字0到9，所以：
1010、1011、1100、1101、1110、1111
在8421BCD码中属于非法编码。
这是408和数字逻辑题里非常容易考的点。
例如十进制数59的8421BCD码不是把59整体转成二进制。
如果把59整体转成二进制，是：
59 = 111011₂
但59的8421BCD码要按十进制位分别编码：
5 -> 0101
9 -> 1001
所以：
59的8421BCD码 = 0101 1001
再比如十进制数2026的8421BCD码是：
2 -> 0010
0 -> 0000
2 -> 0010
6 -> 0110
所以 2026 = 0010 0000 0010 0110
这里一定要区分“普通二进制数”和“BCD码”。
普通二进制数是整体转换，例如：
13₁₀ = 1101₂
而BCD码是逐位转换：
13₁₀ = 0001 0011(BCD)
这两个结果完全不同。
考研中常见陷阱就是把BCD码误当成普通二进制数。
三、余三码：在8421BCD码基础上每位加3
余三码又叫 Excess-3 Code，它是一种无权码。它的形成方法很简单：
某个十进制数字的余三码 = 该数字的8421BCD码 + 0011
也就是每一位十进制数字都加3后，再写成4位二进制。
例如十进制数字5：
5的8421BCD码 = 0101
加3：0101 + 0011 = 1000
所以5的余三码 = 1000
余三码表如下：
| 十进制数字 | 8421BCD码 | 余三码 |
|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0011 |
| 1 | 0001 | 0100 |
| 2 | 0010 | 0101 |
| 3 | 0011 | 0110 |
| 4 | 0100 | 0111 |
| 5 | 0101 | 1000 |
| 6 | 0110 | 1001 |
| 7 | 0111 | 1010 |
| 8 | 1000 | 1011 |
| 9 | 1001 | 1100 |
例如十进制数59的余三码：
5 -> 8421BCD为0101，加0011，得到1000
9 -> 8421BCD为1001，加0011，得到1100
所以59的余三码 = 1000 1100
余三码最常考两个点。
第一个点是：余三码不是有权码。虽然它也是4位编码表示1位十进制数字，但是不能像8421码那样用固定权值直接加权求值。
第二个点是：余三码具有自补性。所谓自补性是指，一个十进制数字d的余三码按位取反后，会得到9 – d的余三码。
例如：
2的余三码 = 0101
按位取反 = 1010
1010正好是7的余三码
而 9 - 2 = 7
再比如：
4的余三码 = 0111
按位取反 = 1000
1000正好是5的余三码
而 9 - 4 = 5
这个性质在十进制补码运算、数字电路编码题中偶尔会考。
四、格雷码：相邻两个编码只有一位不同
格雷码的核心特征是：
相邻两个编码之间只有1位不同
这和普通二进制码不一样。
普通二进制数从3变到4时：
3 = 011
4 = 100
三位全部发生变化。
而格雷码要求相邻状态变化时只改变一位，这样可以减少机械编码、异步采样、电路状态转换中的误判。
常见3位二进制码与格雷码对应关系如下：
| 十进制 | 二进制码 | 格雷码 |
|---|---|---|
| 0 | 000 | 000 |
| 1 | 001 | 001 |
| 2 | 010 | 011 |
| 3 | 011 | 010 |
| 4 | 100 | 110 |
| 5 | 101 | 111 |
| 6 | 110 | 101 |
| 7 | 111 | 100 |
可以看到，从上到下相邻格雷码只变化一位：
000 -> 001 -> 011 -> 010 -> 110 -> 111 -> 101 -> 100
1. 二进制码转格雷码
规则是：
格雷码最高位 = 二进制码最高位
格雷码其余各位 = 二进制码相邻两位异或
也可以写成：
Gₙ = Bₙ
Gᵢ = Bᵢ₊₁ ⊕ Bᵢ
其中 ⊕ 表示异或：相同为0，不同为1。
例如二进制码 1011 转格雷码。
先写二进制码：
B = 1 0 1 1
格雷码最高位等于二进制最高位：
G最高位 = 1
后面逐位异或：
1 ⊕ 0 = 1
0 ⊕ 1 = 1
1 ⊕ 1 = 0
所以：
1011的格雷码 = 1110
2. 格雷码转二进制码
规则是：
二进制最高位 = 格雷码最高位
二进制后续每一位 = 前一位二进制位 ⊕ 当前格雷码位
例如格雷码 1110 转二进制码。
G = 1 1 1 0
最高位：
B最高位 = 1
后面依次算：
B第2位 = 1 ⊕ 1 = 0
B第3位 = 0 ⊕ 1 = 1
B第4位 = 1 ⊕ 0 = 1
所以：
1110(格雷码) = 1011(二进制码)
这类题最容易错在“格雷码转二进制”时直接相邻异或。注意，二进制转格雷码是“原二进制相邻位异或”；格雷码转二进制是“前面已经求出的二进制位与当前格雷码位异或”。
3. 格雷码和卡诺图的关系
卡诺图的行、列编号通常按格雷码顺序排列。
比如二变量列标不是：
00 01 10 11
而是：
00 01 11 10
原因就是卡诺图要求相邻格子只差一个变量，这样才能把相邻最小项合并化简。
五、奇偶校验码：用1位校验位检测错误
奇偶校验码是一种最简单的检错码。它在原始数据后面增加一个校验位，使整个码字中1的个数满足某种奇偶性要求。
分为两种：
偶校验：整个码字中1的个数为偶数
奇校验：整个码字中1的个数为奇数
例如原数据为：
1011001
其中1的个数是4个。
如果采用偶校验，那么总的1的个数已经是偶数，所以校验位应为0：
1011001 0
如果采用奇校验，那么总的1的个数需要变成奇数，所以校验位应为1：
1011001 1
再比如原数据为：
1001101
其中1的个数是4个。
偶校验位为0，奇校验位为1。
如果原数据为：
1001111
其中1的个数是5个。
偶校验时，需要让总的1的个数变成偶数，所以校验位为1：
1001111 1
奇校验时，总的1的个数已经是奇数，所以校验位为0：
1001111 0
奇偶校验码的核心考点是它的检错能力：
能检测出奇数位错误。
不能检测出偶数位错误。
不能纠正错误。
例如采用偶校验时，原来整个码字中1的个数应该为偶数。如果传输过程中有1位发生错误，那么1的个数奇偶性一定改变，接收端可以发现错误。
但如果有2位同时出错，1的个数奇偶性可能不变，接收端就可能发现不了。
所以奇偶校验码只能判断“是否可能出错”，不能判断“哪一位错了”，也不能自动纠正错误。
这个地方经常和海明码混淆。海明码可以定位并纠正一位错误；普通奇偶校验码只能检错，不能纠错。
六、卡诺图化简：把相邻最小项合并，消去变化变量
卡诺图，也常被误写成“卡洛图”，标准名称是卡诺图。它是逻辑函数化简的一种图形化方法，主要用于2变量、3变量、4变量逻辑函数化简。变量再多时也可以用，但图形会变复杂，考研中常见还是2到4变量。
卡诺图的本质是利用逻辑代数中的吸收合并关系：
AB + AB' = A
因为B和B’只差一个变量，一个为1，一个为0，合并后这个变化变量可以消去。
卡诺图就是把只差一个变量的最小项放在相邻格子里，然后通过圈相邻的1来化简表达式。
1. 卡诺图为什么用格雷码排列？
以4变量函数F(A,B,C,D)为例，卡诺图通常把AB作为行，CD作为列。行列顺序都要按格雷码排列：
00 01 11 10
而不是普通二进制顺序：
00 01 10 11
原因是卡诺图要求相邻格子只差一个变量。
如果列按：
00 01 11 10
那么相邻列之间只变一位：
00 -> 01：只变D
01 -> 11：只变C
11 -> 10：只变D
10 -> 00：只变C，注意边界也相邻
所以卡诺图的左右边界、上下边界也是相邻的。这是卡诺图题中非常重要的易错点。
2. 卡诺图化简的基本规则
卡诺图化简时，一般是“圈1”求最简与或式。
基本规则如下：
1. 所有的1都要被圈住。
2. 每个圈中的格子数必须是2的幂：1、2、4、8、16……
3. 圈必须是矩形或正方形，不能斜着圈，不能随意折线圈。
4. 圈越大越好，因为圈越大，能消去的变量越多。
5. 圈可以重叠，只要有助于得到更简表达式。
6. 边界可以相邻，左边和右边能连，顶部和底部也能连。
7. 无关项X可以圈，也可以不圈，原则是有利于化简就圈，不利于化简就不圈。
从圈中读表达式时，原则是：
变化的变量消去，不变的变量保留。
如果某变量在圈内一直为1，则保留原变量；如果一直为0，则保留反变量；如果有时为0有时为1，则消去。
3. 三变量卡诺图例子
假设逻辑函数：
F(A,B,C) = Σm(1,3,5,7)
最小项编号按ABC从000到111排列：
m0 = 000
m1 = 001
m2 = 010
m3 = 011
m4 = 100
m5 = 101
m6 = 110
m7 = 111
题目给的是：
m1 = 001
m3 = 011
m5 = 101
m7 = 111
观察这些最小项：
001
011
101
111
可以发现A有时为0，有时为1；B有时为0，有时为1；但C始终为1。
所以化简结果为：
F = C
如果用卡诺图来圈，就是把所有C=1的格子圈成一个4格大圈。圈越大，消去变量越多。本题4个格子合并后，A和B都被消去，只剩C。
4. 四变量卡诺图例子
假设：
F(A,B,C,D) = Σm(0,1,2,3,8,9,10,11)
把这些最小项写成ABCD：
m0 = 0000
m1 = 0001
m2 = 0010
m3 = 0011
m8 = 1000
m9 = 1001
m10 = 1010
m11 = 1011
观察这些项：
A有时为0，有时为1
B始终为0
C有时为0，有时为1
D有时为0，有时为1
因此只有B保持为0，所以化简结果是：
F = B'
在卡诺图上看，就是B=0的8个格子可以圈成一个大圈。一个8格圈可以消去3个变量，只剩1个变量。
这就是卡诺图的核心：不是机械画图，而是找哪些变量在圈内不变。
七、几个编码之间的典型对比
1. 8421BCD码和普通二进制码的区别
例如十进制数25。
普通二进制转换是整体转换：
25₁₀ = 11001₂
8421BCD码是每一位十进制数字分别编码：
2 -> 0010
5 -> 0101
所以25的8421BCD码 = 0010 0101
所以：
25的二进制码 ≠ 25的BCD码
这类题只要看到“BCD”，就要立刻想到“逐位编码”。
2. 8421BCD码和余三码的区别
8421BCD码是有权码，余三码是无权码。
例如数字6：
6的8421BCD码 = 0110
6的余三码 = 0110 + 0011 = 1001
余三码不是直接把数值写成二进制，而是在8421BCD码基础上加3。
3. 格雷码和普通二进制码的区别
普通二进制码按数值自然递增，但相邻数可能多位变化。
格雷码不强调按普通二进制加1，而强调相邻状态只有一位变化。
例如3到4：
普通二进制：
3 = 011
4 = 100
变化了3位
格雷码：
3 = 010
4 = 110
只变化了1位
4. 奇偶校验码和前面几种数值编码的区别
8421BCD码、余三码、格雷码主要用于表示信息或状态；奇偶校验码主要用于检查传输或存储过程中是否发生错误。
它不关心这个数据表示的是几，而关心整个码字中1的个数是否符合约定。
八、考研做题时的快速判断方法
看到“8421BCD码”，第一反应应该是：十进制数逐位转4位编码，不是整体转二进制。比如 39 的8421BCD码是 0011 1001，不是39的二进制。
看到“余三码”，第一反应应该是：每一位十进制数字先写8421BCD，再加 0011。比如 7 的余三码是 0111 + 0011 = 1010。
看到“格雷码”，第一反应应该是：相邻只差一位。二进制转格雷码用“最高位不变，相邻异或”；格雷码转二进制用“最高位不变，逐位累积异或”。
看到“奇偶校验码”，第一反应应该是：数1的个数。偶校验要求总1数为偶数；奇校验要求总1数为奇数。它只能检测奇数位错误，不能纠错。
看到“卡诺图”，第一反应应该是：行列顺序按格雷码 00、01、11、10 排列；圈1求与或式；圈越大越好；变化变量消去，不变变量保留；边界相邻；无关项X可用可不用。
九、最后做一个总例子串起来
假设十进制数 48。
它的普通二进制码是整体转换：
48₁₀ = 110000₂
它的8421BCD码是逐位编码：
4 -> 0100
8 -> 1000
所以48的8421BCD码 = 0100 1000
它的余三码是每一位BCD码加3：
4 -> 0100 + 0011 = 0111
8 -> 1000 + 0011 = 1011
所以48的余三码 = 0111 1011
如果只是把普通二进制 110000 转成格雷码，则：
二进制码：1 1 0 0 0 0
格雷码最高位：1
后面相邻异或：
1⊕1=0
1⊕0=1
0⊕0=0
0⊕0=0
0⊕0=0
所以格雷码 = 101000
如果对数据 110000 加偶校验位，原数据中1的个数是2个，已经是偶数，所以偶校验位为0：
1100000
如果加奇校验位，则校验位为1：
1100001
这几个结果完全不同，因为它们服务的目的不同：普通二进制表示数值，BCD表示十进制数字，余三码是十进制编码变体，格雷码用于相邻状态变化，奇偶校验码用于检错。卡诺图则不是编码，而是用来化简逻辑表达式。
与非门、或非门、异或门，以及组合逻辑门的判断方法
与非门、或非门、异或门，以及组合逻辑门的判断方法
在数字逻辑中，逻辑门本质上就是对 0 和 1 进行逻辑运算的基本电路。考研里最常见的是与门、或门、非门、与非门、或非门、异或门、同或门。理解这些门时，不要只背名字，而要把它们和逻辑表达式、真值表、图形符号、常见题型联系起来。
与非门、或非门最容易混淆，因为它们都是“先进行一种基本逻辑运算，再取反”。异或门则常用于判断“两个输入是否不同”，在加法器、奇偶校验、码制转换中经常出现。
一、先回顾三个基本门：与门、或门、非门
1. 与门 AND
与门的逻辑含义是：只有所有输入都为 1，输出才为 1。
两输入与门：
| A | B | Y = A·B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
可以记为：
有 0 出 0，全 1 出 1
2. 或门 OR
或门的逻辑含义是：只要有一个输入为 1，输出就是 1。
两输入或门：
| A | B | Y = A + B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
可以记为：
有 1 出 1，全 0 出 0
3. 非门 NOT
非门就是取反。
| A | Y = A’ |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
也可以写成：
Y = ¬A
Y = A'
Y = A 上面加横线
在考研题目中，A'、¬A、A̅ 都可能表示 A 取反。
二、与非门 NAND
与非门就是“与门 + 非门”。
也就是说，先做与运算，再整体取反：
Y = (A·B)'
两输入与非门真值表如下：
| A | B | A·B | Y = (A·B)’ |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
与非门的判断口诀是：
有 0 出 1，全 1 出 0
因为与门是“全 1 出 1”，再取反之后，就变成“全 1 出 0，其余情况出 1”。
与非门的考点
与非门非常重要，因为它是“功能完备门”。所谓功能完备，意思是只用与非门就可以实现所有逻辑功能，包括非、与、或、异或等。
例如：
1. 用与非门实现非门
令两个输入都接 A：
Y = (A·A)' = A'
所以一个与非门可以当非门用。
2. 用与非门实现与门
先与非，再取反：
A·B = ((A·B)')'
实现方式：
先用一个与非门得到 (A·B)'
再用一个与非门对它取反
3. 用与非门实现或门
根据德摩根定律：
A + B = (A'·B')'
所以可以先把 A、B 分别取反，再送入与非门。
这类题经常会考“只用与非门实现某个逻辑表达式”。
三、或非门 NOR
或非门就是“或门 + 非门”。
先做或运算，再整体取反：
Y = (A + B)'
两输入或非门真值表如下：
| A | B | A + B | Y = (A + B)’ |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
或非门的判断口诀是：
有 1 出 0，全 0 出 1
因为或门是“有 1 出 1”，再取反之后，就变成“有 1 出 0，只有全 0 才出 1”。
或非门的考点
或非门和与非门一样，也是功能完备门。只用或非门也可以实现所有逻辑功能。
1. 用或非门实现非门
令两个输入都接 A：
Y = (A + A)' = A'
2. 用或非门实现或门
先或非，再取反：
A + B = ((A + B)')'
3. 用或非门实现与门
根据德摩根定律：
A·B = (A' + B')'
所以先分别得到 A’、B’，再送入或非门。
四、异或门 XOR
异或门和与非门、或非门不一样。它不是简单的“某个基本门后面接非门”，而是专门用于判断两个输入是否不同。
异或门的逻辑含义是：
两个输入不同，输出 1；
两个输入相同，输出 0。
两输入异或门真值表如下：
| A | B | Y = A ⊕ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
口诀：
同 0 异 1
也就是说：
相同为 0，不同为 1
异或的逻辑表达式是：
A ⊕ B = A'B + AB'
这个表达式非常重要。它说明异或输出为 1 的情况有两种：
A = 0, B = 1
A = 1, B = 0
因此：
A ⊕ B = A'B + AB'
异或门的常见性质
异或在计算机组成原理、数字逻辑、校验码中都很常见，尤其要记住以下性质：
A ⊕ 0 = A
A ⊕ 1 = A'
A ⊕ A = 0
A ⊕ A' = 1
这些性质在做题时非常好用。
例如：
1 ⊕ 0 = 1
1 ⊕ 1 = 0
0 ⊕ 0 = 0
0 ⊕ 1 = 1
异或还满足交换律和结合律：
A ⊕ B = B ⊕ A
(A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C)
因此多个变量异或时，可以按 1 的个数判断结果：
输入中 1 的个数为奇数，异或结果为 1；
输入中 1 的个数为偶数，异或结果为 0。
例如：
1 ⊕ 0 ⊕ 1 = 0
因为有两个 1，是偶数个，所以结果为 0。
1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 1 = 1
因为有三个 1，是奇数个，所以结果为 1。
这就是异或门和奇偶校验码关系很密切的原因。
五、同或门 XNOR
既然有异或门，就有同或门。同或门可以理解为“异或门取反”。
Y = (A ⊕ B)'
同或门的含义是：
两个输入相同，输出 1；
两个输入不同，输出 0。
真值表如下：
| A | B | A ⊕ B | Y = (A ⊕ B)’ |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
口诀：
同 1 异 0
同或表达式是：
A ⊙ B = AB + A'B'
它输出为 1 的情况是：
A = 1, B = 1
A = 0, B = 0
所以：
A ⊙ B = AB + A'B'
同或门常用于比较两个二进制位是否相等。如果 A 和 B 相等，同或输出 1；如果不相等，同或输出 0。
六、与非、或非、异或、同或的对比
这几个门最容易混在一起，可以放到一张表里记。
| 逻辑门 | 表达式 | 输出为 1 的条件 | 口诀 |
|---|---|---|---|
| 与门 | A·B | A、B 全为 1 | 全 1 出 1 |
| 或门 | A + B | A、B 至少一个为 1 | 有 1 出 1 |
| 与非门 | (A·B)’ | A、B 不全为 1 | 有 0 出 1 |
| 或非门 | (A + B)’ | A、B 全为 0 | 全 0 出 1 |
| 异或门 | A ⊕ B | A、B 不同 | 同 0 异 1 |
| 同或门 | (A ⊕ B)’ | A、B 相同 | 同 1 异 0 |
对于两输入门，可以直接记住下面这组结果：
| A | B | 与 | 或 | 与非 | 或非 | 异或 | 同或 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
七、组合门该如何判断
所谓“组合门”，通常是指由多个基本逻辑门组合而成的逻辑电路。判断这种电路时，核心方法不是凭感觉看图，而是逐级写表达式。
一般按照下面的顺序做：
1. 从输入端开始，给每一条中间线命名
2. 看清每个门的类型
3. 写出每一级输出表达式
4. 逐层代入，得到最终表达式
5. 必要时用德摩根定律化简
6. 如果题目问功能，再和常见门的表达式或真值表对比
例如看到一个电路：
A、B 先进入与门，输出 X
X 再经过非门，输出 Y
那么：
X = A·B
Y = X' = (A·B)'
所以这是与非门。
再例如：
A、B 先进入或门，输出 X
X 再经过非门，输出 Y
那么：
X = A + B
Y = X' = (A + B)'
所以这是或非门。
八、判断组合门时最常用的三个技巧
1. 输出端有“小圆圈”，通常表示取反
在数字逻辑图中，门电路输出端如果有一个小圆圈，通常表示输出取反。
例如：
与门输出端加小圆圈 = 与非门
或门输出端加小圆圈 = 或非门
异或门输出端加小圆圈 = 同或门
所以看到小圆圈时，要立刻想到：
最后整体取反
这也是很多题的陷阱。学生容易只看前面的门形状，忽略输出端的小圆圈。
2. “先算门，再看反”
对于与非门和或非门，不要直接凭名字乱判断。可以按这个顺序：
与非门：先与，再非
或非门：先或，再非
例如：
与非门不是“先非再与”
或非门不是“先非再或”
这一点很重要。
(A·B)' 和 A'·B' 不是同一个式子。
根据德摩根定律：
(A·B)' = A' + B'
(A + B)' = A'·B'
也就是说：
与非 = 非后变或
或非 = 非后变与
这就是德摩根定律在门电路中的核心作用。
3. 异或门看“是否不同”
异或门最好的判断方法不是看复杂表达式，而是看输出为 1 的情况。
如果输出为 1 的情况是：
01 和 10
那就是异或：
A'B + AB'
如果输出为 1 的情况是：
00 和 11
那就是同或：
A'B' + AB
所以判断异或、同或时，最直接的办法是看真值表。
九、常见组合逻辑表达式与门功能对应
考研题中经常不是直接画一个标准门，而是给一个逻辑表达式，让判断它等价于什么门。下面这些必须熟悉。
1. 与非门
Y = (AB)'
等价于：
Y = A' + B'
判断方法：
整体是 AB 取反，所以是与非门。
2. 或非门
Y = (A + B)'
等价于：
Y = A'B'
判断方法：
整体是 A + B 取反，所以是或非门。
3. 异或门
Y = A'B + AB'
等价于：
Y = A ⊕ B
判断方法：
两个变量一个为 0、一个为 1 时输出 1，所以是异或。
4. 同或门
Y = AB + A'B'
等价于：
Y = A ⊙ B
Y = (A ⊕ B)'
判断方法：
两个变量相同时输出 1，所以是同或。
5. 非门
Y = A'
判断方法很直接：
0 变 1，1 变 0。
十、常见组合还有哪些
除了单纯的门电路，408 风格或者数字逻辑基础题里还常见这些组合逻辑部件。它们本质上都是由基本门组合出来的。
1. 半加器
半加器用于完成两个 1 位二进制数 A、B 的加法，不考虑来自低位的进位。
它有两个输出：
和位 S = A ⊕ B
进位 C = A·B
真值表：
| A | B | S | C |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
半加器要记住：
和位用异或，进位用与。
为什么和位是异或？因为一位加法中：
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10，和位为 0，进位为 1
和位正好是“同 0 异 1”。
2. 全加器
全加器用于完成三个 1 位数相加：A、B、低位进位 Cin。
输出包括：
和位 S
向高位的进位 Cout
公式为：
S = A ⊕ B ⊕ Cin
Cout = AB + Cin(A ⊕ B)
也可以写成：
Cout = AB + ACin + BCin
全加器的核心记忆：
和位：三个数异或
进位：至少两个输入为 1，则产生进位
所以全加器的进位输出本质上是“三个输入中至少有两个为 1”。
3. 比较器
比较器用于比较两个二进制数是否相等，或者判断大小。
如果只是比较一位 A 和 B 是否相等，可以用同或门：
A 和 B 相等：A ⊙ B = 1
A 和 B 不等：A ⊕ B = 1
多位相等比较器通常是：
每一位都相等，整体才相等
例如比较 2 位数 A₁A₀ 和 B₁B₀：
相等输出 E = (A₁ ⊙ B₁) · (A₀ ⊙ B₀)
这体现了：
每一位同或，然后所有结果再相与
4. 奇偶校验电路
异或门在奇偶校验中非常常见。
多个输入异或的结果可以判断 1 的个数是奇数还是偶数：
若 1 的个数为奇数，异或结果为 1；
若 1 的个数为偶数，异或结果为 0。
所以异或门可以用于生成奇偶校验位，也可以用于检测传输数据是否出错。
例如：
P = A ⊕ B ⊕ C ⊕ D
如果 A、B、C、D 中 1 的个数为奇数，则 P = 1；如果 1 的个数为偶数，则 P = 0。
5. 译码器
译码器是把 n 位二进制输入转换成最多 2ⁿ 个输出中的某一个有效输出。
例如 2 线 – 4 线译码器输入为 A、B，输出为 Y₀、Y₁、Y₂、Y₃：
Y₀ = A'B'
Y₁ = A'B
Y₂ = AB'
Y₃ = AB
可以看到，每个输出其实都是一个最小项。
译码器在考研中常和存储器片选、地址译码、控制信号产生联系起来。
6. 编码器
编码器与译码器方向相反，它是把多个输入信号编码成二进制代码输出。
例如 8 线 – 3 线编码器，就是把 8 个输入中的某一个有效输入编码成 3 位二进制输出。
编码器常见考法是：
普通编码器
优先编码器
优先编码器表示多个输入同时有效时，优先级高的输入决定输出。
7. 数据选择器
数据选择器也叫多路选择器，简称 MUX。它的作用是从多个输入数据中选择一个送到输出端。
例如 4 选 1 数据选择器有：
数据输入：D₀、D₁、D₂、D₃
选择输入：S₁、S₀
输出：Y
逻辑表达式为：
Y = S₁'S₀'D₀ + S₁'S₀D₁ + S₁S₀'D₂ + S₁S₀D₃
含义是：
S₁S₀ = 00，选择 D₀
S₁S₀ = 01，选择 D₁
S₁S₀ = 10，选择 D₂
S₁S₀ = 11，选择 D₃
数据选择器常用于实现任意组合逻辑函数。
8. 数据分配器
数据分配器和数据选择器方向相反。
数据选择器是：
多个输入选一个输出
数据分配器是：
一个输入分配到多个输出中的某一个
它通常也由选择信号决定数据送到哪一路。
十一、做题时怎么快速判断门电路功能
遇到门电路判断题，可以按以下思路处理。
第一步，看有没有输出端小圆圈。如果有，说明最后结果要取反。与门加小圆圈就是与非门，或门加小圆圈就是或非门，异或门加小圆圈就是同或门。
第二步，看表达式是否出现整体取反。例如：
(AB)' 是与非
(A + B)' 是或非
注意整体取反和单个变量取反不是一回事。
第三步，看输出为 1 的输入组合。如果输出为 1 的组合是 01、10，就是异或；如果输出为 1 的组合是 00、11，就是同或。
第四步，如果电路比较复杂，就不要硬看图。应该从输入到输出逐级写中间变量。例如：
X = A'
Z = B + C
Y = X·Z
最后再整理成：
Y = A'(B + C)
如果需要判断功能，再画真值表或和常见表达式对照。
十二、最容易错的地方
与非门最容易被误解成“先非再与”。实际上与非门是：
Y = (AB)'
不是：
Y = A'B'
因为：
(AB)' = A' + B'
或非门也容易被误解成“先非再或”。实际上或非门是：
Y = (A + B)'
不是：
Y = A' + B'
因为：
(A + B)' = A'B'
异或门容易和或门混淆。或门是“有 1 就出 1”，所以 1 OR 1 = 1；异或门是“不同才出 1”，所以 1 XOR 1 = 0。
这一点在加法器中特别重要：
1 + 1 的和位是 0，进位是 1
所以半加器的和位不是或门，而是异或门。
十三、总结记忆
这部分可以压缩成下面几句话：
与门：全 1 出 1
或门：有 1 出 1
非门：0、1 互换
与非门：先与后非，有 0 出 1，全 1 出 0
或非门：先或后非，有 1 出 0，全 0 出 1
异或门：同 0 异 1
同或门：同 1 异 0
对应表达式：
与非：Y = (AB)'
或非：Y = (A + B)'
异或：Y = A'B + AB'
同或：Y = AB + A'B'
组合门判断的核心方法是：
看门形，看小圆圈；
逐级写表达式；
用德摩根定律化简；
用真值表验证；
最后和常见门功能对应。
在计算机组成原理和数字逻辑题目中，与非门、或非门常用于逻辑函数实现；异或门常用于加法器、比较器、奇偶校验和码制转换。真正做题时，最重要的是能从表达式、真值表、门电路图三者之间来回转换。
